Exhibit · 量子结构专题
形变理论中的“局域算符”是什么？从 contact terms、非局域重整化与动力学位置，走向可计算的量子可观测量。
本页区分 bare/renormalized、fixed/dynamical coordinate、local/dressed、position/momentum space 与 perturbative/nonperturbative。λ、Λ、指标、signature 与整体归一化均按各引用文献说明；不同 prescription 的公式不可直接拼接。
核心路径默认展开；方法路径组织可计算技术；研究前沿默认折叠。目录深链接会自动展开对应路径。
Exhibit · 算符定义地图
Exhibit · 直觉入口
能谱只需追踪 Hamiltonian 的本征值；相关函数还必须说明算符怎样流动、插入位置怎样定义、碰撞发散怎样调节，以及采用哪一种重整化方案。形变引入长度尺度 ℓλ，所以结果可依赖位置、动量、调节器和算符定义。
Exhibit · 为什么相关函数比能谱更困难？
积分点靠近外部插入时会产生接触奇点，因此需要定义复合形变算符、调节 collision limit、重整化外部算符并保持 Ward 恒等式。这些数据通常不会像有限体积能谱那样只由少数全局量闭合。
Exhibit · 算符流与 Dirac-like Strings
Cardy 将无穷小形变解释为给每个场附加 Dirac-like string。流在算符代数上表现为 derivation，并导出非局域场重整化、deformed OPE、Callan–Symanzik 型方程与改进守恒流。这里的 string 是算符流结构，不是基本弦。
Exhibit · 非局域重整化
若 Z𝒪 任意依赖 q²，位置空间中对应无限阶导数或卷积核。它是 operator definition 非局域性的强信号，但不自动推出 acausality、不幺正或理论不一致。必须区分作用量、算符定义与 UV 渐近三个层次。
Exhibit · 竞争的高动量渐近
两种文献结果使用不同耦合约定、算符 prescription、调节器、归一化与极限顺序。它们应作为两个定义下的渐近结构分别阅读，不能合成为普适公式，也不能直接比较指数系数。
Exhibit · 动力学坐标
几何表述可把一类形变相关函数写成种子 CFT 在由态或插入回作用产生的 dynamical space 上的相关函数。对 semi-heavy operators，场依赖坐标变换提供直接方法，但它不是所有量子效应的普适替代。
Exhibit · JT 引力中的关系型位置
在 JT gravity 中普通坐标不是 gauge invariant；插入位置由 dynamical clocks and rods 关系性地定义。不同 relational prescription 不必产生相同短距离相关函数，因此位置定义必须和结果一起陈述。
Exhibit · Hamiltonian Flow 与 Dressed Operators
Hamiltonian 观点通过连续 canonical/Bogoliubov transformations 表示形变。由此可定义保持未形变交换关系的非局域 dressed operators；某些圆柱相关函数成为种子相关函数的积分变换。
Exhibit · 能动张量相关函数与 Anomaly Action
形变后的 Polyakov–Liouville anomaly action 可生成能动张量相关函数。一阶结果显示两点与三点函数中没有相同类型的显著对数修正，而四点函数开始出现；该结果可与 conformal perturbation theory 与 OPE 核对。
Exhibit · 守恒方程方法
该方法结合 trace relation、能动张量守恒、时空对称性与低阶输入，递归约束更高阶相关函数修正。它是系统微扰方法，不是任意阶非微扰闭式解。
Exhibit · 调节器与方案依赖
hard-disk excision、point splitting、dimensional regularization、momentum cutoff 与 analytic continuation 会以不同方式组织发散。只有统一算符定义、Ward identities、归一化条件与有限反项后，结果才可比较。
Exhibit · 形变 OPE
形变 OPE 可作为组织 collision limit 与 operator mixing 的示意语言；算符可能非局域，导数与接触项歧义增加，收敛性质也不必等同于 CFT OPE。非临界弦表述提供其特定定义下的三点与 OPE data。
Exhibit · Form-Factor Bootstrap
在 massive integrable QFT 中，形状因子的谱展开把 S-matrix、form factors 与相关函数连接起来。generalized deformation 可产生 factorized dressed form factors，但适用范围依赖 diagonal factorized scattering 等明确假设，不能推广到任意非可积种子。
Exhibit · 全息相关函数
大中心荷下，低点能动张量相关函数可与 finite-cutoff AdS 的经典纯引力匹配；一般 bulk scalar two-point function 通常还需要额外 scalar double-trace operators，不能仅靠 TT̄ 自动重现。
Exhibit · root-TT̄ 与联合相关函数
已有工作在具有连续标度权谱的二维量子 CFT 中，并在所述因子化假设下，提出了 root operator 的 tentative definition，并研究了两点和三点相关函数的一阶变化。近期联合 TT̄/root-TT̄ 几何路径积分在 TT̄ 耦合全阶、root 耦合领先阶下得到两点函数及 kernel average；这不表示 root-TT̄ 已有适用于任意离散谱 CFT 的完整非微扰量子定义。
Exhibit · BRST-Dressed 可观测量
BRST 构造把未形变 CFT operators 映射到 deformed gravity theory 的 BRST cohomology，建立 unitary dressing map，并以 BRST-invariant expectation values 非微扰定义 dressed correlators。非微扰定义不等于每个相关函数都已有闭式求值。
Exhibit · 相对稳固的结果与使用边界
相对稳固的是：流包含 integrated insertion 与 contact terms；重整化可呈动量依赖；适当改进的 currents 可保持守恒与 Ward identities；能动张量相关函数有多种交叉核对；可积模型可用 form factors 构造相关函数；dynamical-coordinate 与 BRST 方法定义关系型或 gauge-invariant observables。
Exhibit · 开放问题
Hamiltonian、dynamical-coordinate、JT 与 BRST observables 何时等价？deformed OPE 的收敛性与 associativity 如何定义？高动量渐近能否按算符 prescription 分类？非可积种子是否存在非微扰流？Lorentzian commutators、causality 与 chaos 如何变化？能谱与配分函数能重建多少 operator data？
Exhibit · 建议阅读路径
核心阅读建立 operator flow 与关系型定义；方法路径比较 anomaly action、守恒方程、调节器与 form factors；算符与几何路径连接 Hamiltonian、动力学坐标和非临界弦；前沿进入 root、BRST 与联合流。
John Cardy
建立一般局域场相关函数的算符流、非局域重整化、deformed OPE 与改进守恒流，是本专题的起点。
Ofer Aharony, Netanel Barel
在 JT 关系型位置定义下计算高动量两点函数，清楚展示算符 prescription 如何进入 UV 渐近。
Song He, Yi Li, Hao Ouyang, Yuan Sun
v2 · 最后修订 · 2025-05-12
系统综述 形变中的相关函数、算符重整化、非局域性和 UV–IR mixing，适合用于比较不同算符定义与计算方法。
Shinji Hirano, Tatsuki Nakajima, Masaki Shigemori
展示随机几何方法可以进入局域量子结构，用形变 Polyakov–Liouville 作用量计算能动张量相关函数。
Song He, Yuan Sun, Jiashi Yin
提出守恒方程方法，以 trace relation 与守恒方程递归约束高阶相关函数修正。
Daniil Menskoy
使用 dimensional regularization 计算一阶主算符相关函数并导出两点函数场重整化。
Olalla A. Castro-Alvaredo, Stefano Negro, Fabio Sailis
把 generalized deformation bootstrap 从 S 矩阵推进到 form factors，为 massive integrable correlators 建立系统路线。
Jorrit Kruthoff, Onkar Parrikar
从 Hamiltonian 流构造非局域 dressed operators，并区分平面与圆柱上的算符和相关函数流。
Shinji Hirano, Masaki Shigemori
把形变相关函数解释为种子 CFT 在动力学回作用空间上的相关函数，重点处理 semi-heavy operators。
Nele Callebaut, Jorrit Kruthoff, Herman Verlinde
在非临界弦定义中构造一般相关函数，并给出形变三点与 OPE data 的积分表达。
Leszek Hadasz, Rikard von Unge
在具有连续标度权谱的二维量子 CFT 和所述因子化假设下，提出 tentative root-operator definition，并研究两点、三点相关函数的一阶变化。
Elia de Sabbata, Pietro Antonio Grassi, Massimo Porrati
用 BRST cohomology 构造 unitary dressing map，并非微扰定义 gauge-invariant dressed correlators。
Bo-Rui Li, Song He, Yu-Xiao Liu
在联合 TTbar/root-TTbar 几何框架中求两点函数，并给出对未形变 conformal dimensions 的 kernel average。
Exhibit · 相关函数尺度探索器
这是尺度分类与方法选择工具，不是任意形变 QFT 的通用数值求解器。所有高动量曲线都按各自定义归一化，只用于展示 qualitative behavior。